Futbola 16 yaşında Alibeyköyspor takımında başlayan Behçet Arkun, 3 sezon Feriköy’de oynadıktan sonra 16 Kasım 1966’da Altınordu’ya transfer oldu. Altınordu onbirinde ilk önce solbek olarak başlayan Arkun, daha sonra stoper mevkinde tüm Altınordu maçlarında görev yapmıştır.
1966-67 sezonunun ortalarında Altınordu’ya gelen Behçet Arkun 106 Lig maçı, 9 Türkiye Kupası maçı ve 40 tane Spor Toto, TSYD Kupası ve özel maçlar olmak üzere toplam 155 karşılaşmada oynamıştı. Behçet Arkun, 1968-69 sezonu ilk maçı olan ve 1-0’lık Altınordu galibiyeti ile biten Göztepe maçı hariç tüm Altınordu maçlarında oynamıştı. Adeta çelikten yapılmış bu futbolcumuz ne bir ceza almış ne de bir sakatlık geçirmişti. Sırasıyla KSK, Mersin İ.Y., Göztepe, F. Bahçe, Kütahyaspor (kupa), ve Altay’a karşı kırmızı-lacivertli forma ile 6 gol kaydetmişti.
Ekdeki fotoğrafta görüldüğü üzere 1966-67 sezonunda son dakikada, kornerden gelen ortaya sert bir şutla F. Bahçe’ye attığı gol Altınordu’nun unutulmaz gollerinden birisidir. Behçet Arkun 1970-71 Sezonunda Adanaspor’a transfer olmuştur.
